AP数学函数的导数
歌者与猫 2018-04-17     11:23 来源: 来自互联网
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AP数学函数的导数

函数的导数是函数给定点的变化率。这事理解起来确实有点抽象,但是请跟着上海环球AP老师耐心阅读下去。试想象在一条直线上,假如某物体有一定的速度在运行,这是相当简单的问题,起初这条直线是水平的,现在假如直线右端向下倾斜一定角度,那么在日常环境下,物体的运行速度会增加。通过这不是那么严谨的想象,我们可以在感性认识层面感觉一下“函数的导数”。在上面简单的“想象”中,"倾斜一定角度"是“斜率”的一种日常语言表达,而仅仅是斜率,增加了运行。换句话说,导数是直线的斜率。但对于一个更一般的函数,斜率是每一个点的变化率。例如:f(x)=x2,基本的抛物线的形状像一碗,很明显,只要看着它,就能知道斜率在不同点(不同的x)是不同的。

根据微积分的求微法则,x2的微分是2x。好吧,如果你想知道点(1,1)的坡(变化率),就把x = 1代入到2x:,那么抛物线x2的点(1,1)的坡是2。如果你想知道边点(3,9)的坡,就代入x = 3在2x,得到斜率为2×3 = 6。这个是相对容易的。

AP数学函数的导数

现在,如果你认为在函数的每一个点上,斜率都是变化着的;函数的每一个点上的导数都是变化着的。你错了,这是一个常见的误解。导数和斜率不是同一个东西,它给你一个指定的斜坡的x值。你发现,一个函数的导数是这个函数的本身,这个函数不会根据输入的值做成改变。例如:f(x)= x2,导数是f′(x)= 2x。那么导数是总是将函数2x代入具体的值,,无论是x = 1,或2,或5000。但由于代入的函数值x,我们可以说,速度的改变,随着x值的取值改变在改变。再讲一次,导数是一个函数的变化率,即斜率。

这里制作了一个函数导数的动态变化图,正如你所看到的图示,给出了函数本身、导函数。对于同一个函数,斜率随着x值的改变而改变。现在这个函数并不是我们一般讨论的简单抛物线,但是我们可以看到,即使在一个复杂的函数中,我们仍然可以清楚地看到斜率随着x的变化而如何变化。在图示中,绿色代表这个点的导数是正的,红色代表此点导数是负数,黑色表示导数为零。

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